Lưu ý về số thứ tự và tên

Dưới đây bốn định lý được đánh dấu lần lượt là A, B, C và D. Chúng thường được đánh thứ tự "Định lý đẳng cấu thứ nhất", "Định lý đẳng cấu thứ hai...", v.v; Tuy nhiên, không có thống nhất giữa tên gọi của các định lý đẳng cấu và mỗi tác giả có thể có cách đặt tên khác nhau. Để minh chứng, dưới đây là ví dụ của các tên gọi cho các đẳng cấu nhóm. Để ý rằng các định lý này cũng có phần tương tự khi xét vành và môđun.

So sánh tên của các định lý đẳng cấu trong lý thuyết nhóm

Tên gọi	Tác giả	Định lý A	Định lý B	Định lý C
Không có "Định lý đẳng cấu thứ ba"	Jacobson[1]	Định lý nền tảng của các đồng cấu	(Định lý đẳng cấu thứ hai)	"hay được gọi là định lý đẳng cấu đầu tiên"
van der Waerden,[2] Durbin[4]	Định lý nền tảng của các đồng cấu	Định lý đẳng cấu đầu tiên	Định lý đẳng cấu thứ hai
Knapp[5]	(Không tên)	Định lý đẳng cấu thứ hai	Định lý đẳng cấu đầu tiên
Grillet[6]	Định lý đồng cấu	Định lý đẳng cấu thứ hai	Định lý đẳng cấu đầu tiên
Xếp theo chữ số	(Cách gọi của Grillet)	Định lý đẳng cấu đầu tiên	Định lý đẳng cấu thứ ba	Định lý đẳng cấu thứ hai
Rotman[7]	Định lý đẳng cấu đầu tiên	Định lý đẳng cấu thứ hai	Định lý đẳng cấu thứ ba
Fraleigh[8]	(Không tên)	Định lý đẳng cấu thứ hai	Định lý đẳng cấu thứ ba
Dummit & Foote[9]	Định lý đẳng cấu đầu tiên	Định lý đẳng cấu thứ hai (hay Định lý hình thoi của đẳng cấu)	Định lý đẳng cấu thứ ba
Không có thứ tự	Milne[10]	Định lý đồng cấu	Định lý đẳng cấu	Định lý tương ứng
Scott[11]	Định lý đồng cấu	Định lý đẳng cấu	Định lý năm nhất (hay định lý freshman)

Thường thì trong sách ít cho thêm định lý D, hay còn được gọi là định lý dàn, làm một trong các định lý đẳng cấu, nhưng khi cho thêm vào thì nó là cái cuối cùng.

Phát biểu các định lý

Định lý A (nhóm)

Biểu đồ của định lý nền tảng trên các đồng cấu

Đặt G và H là nhóm, và đặt f : G → H là đồng cấu nhóm. Khi đó:

1. Hạt nhân của f là nhóm con chuẩn tắc của G,
2. Ảnh của f là nhóm con của H, và
3. Ảnh của f đẳng cấu với nhóm thương G / ker(f).

Đặc biệt là, nếu f là toàn ánh thì H đẳng cấu với G / ker(f).

Định lý B (nhóm)

Biểu đồ cho định lý B3. Hai nhóm thương (trong hình nét đứt) đẳng cấu với nhau.

Đặt G {\displaystyle G} là nhóm . Gọi S {\displaystyle S} là nhóm con của G {\displaystyle G} , và N {\displaystyle N} là nhóm con chuẩn tắc của G {\displaystyle G} . Khi đó các mệnh đề sau được thỏa mãn:

1. Tích S N {\displaystyle SN} là nhóm con của G {\displaystyle G} ,
2. Phần giao S ∩ N {\displaystyle S\cap N} là nhóm con chuẩn tắc của S {\displaystyle S} , và
3. Hai nhóm thương ( S N ) / N {\displaystyle (SN)/N} và S / ( S ∩ N ) {\displaystyle S/(S\cap N)} đẳng cấu với nhau.

Song,thực ra N {\displaystyle N} không cần thiết phải là nhóm con chuẩn tắc, chỉ cần S {\displaystyle S} là nhóm con của nhóm chuẩn hóa của N {\displaystyle N} trong G {\displaystyle G} là được. Trong trường hợp này, giao S ∩ N {\displaystyle S\cap N} không phải nhóm con chuẩn tắc của G {\displaystyle G} , nhưng nó vẫn là nhóm con chuẩn tắc của S {\displaystyle S} .

Định lý này đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu,[10] định lý hình thoi[12] hoặc định lý hình bình hành.[13]

Một ứng dụng của định lý đẳng cấu thứ hai là dùng để xác định các nhóm tuyến tính xạ ảnh, ví dụ nhóm trên đường xạ ảnh phức bắt đầu bằng cách đặt G = GL 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )} , nhóm của các ma trận phức khả nghịch kích thước 2 × 2, S = SL 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )} , là nhóm con của các ma trận có định thức bằng 1, và N {\displaystyle N} là nhóm con chuẩn tắc của các ma trận scalar C × I = { ( a 0 0 a ) : a ∈ C × } {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}} , ta có S ∩ N = { ± I } {\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}} , trong đó I {\displaystyle I} là ma trận đơn vị, và S N = GL 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )} . Khi đó, từ định lý đẳng cấu thứ hai ta được:

PGL 2 ⁡ ( C ) := GL 2 ⁡ ( C ) / ( C × I ) ≅ SL 2 ⁡ ( C ) / { ± I } =: PSL 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}

Định lý C (nhóm)

Gọi G {\displaystyle G} là nhóm và N {\displaystyle N} là nhóm con chuẩn tắc của G {\displaystyle G} .Khi đó

1. Nếu K {\displaystyle K} là nhóm con của G {\displaystyle G} sao cho N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G} , thì G / N {\displaystyle G/N} có nhóm con đẳng cấu với K / N {\displaystyle K/N} .
2. Mọi nhóm con của G / N {\displaystyle G/N} có dạng K / N {\displaystyle K/N} cho một số nhóm K {\displaystyle K} của G {\displaystyle G} sao cho N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G} .
3. Nếu K {\displaystyle K} là nhóm con chuẩn tắc của G {\displaystyle G} sao cho N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G} , thì G / N {\displaystyle G/N} có nhóm con chuẩn tắc đẳng cấu với K / N {\displaystyle K/N} .
4. Mọi nhóm con chuẩn tắc của G / N {\displaystyle G/N} có dạng K / N {\displaystyle K/N} cho một số nhóm con chuẩn tắc K {\displaystyle K} của G {\displaystyle G} sao cho N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G} .
5. Nếu K {\displaystyle K} là nhóm con chuẩn tắc của G {\displaystyle G} sao cho N ⊆ K ⊆ G {\displaystyle N\subseteq K\subseteq G} , thf nhóm thương ( G / N ) / ( K / N ) {\displaystyle (G/N)/(K/N)} đẳng cấu với G / K {\displaystyle G/K} .

Định lý D (nhóm)

Định lý tương ứng (hay còn được gọi là định lý dàn) đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu thứ ba hoặc thứ tư.

Bổ đề Zassenhaus (hay còn gọi là bổ đề con bướm) đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu thứ tư.[14]